Eulersche Formel: Unterschied zwischen den Versionen
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− | | <math>e = \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}</math> | + | | <math>e := \sum\limits_{k=0}^\infty \, \dfrac{1}{k!}</math> |
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e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi} \quad \text{für} \quad \varphi \in \mathbb{R} | e^{\text{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \text{i} \sin{\varphi} \quad \text{für} \quad \varphi \in \mathbb{R} | ||
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Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind: | Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind: | ||
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Aktuelle Version vom 10. April 2020, 20:04 Uhr
Eulersche Zahl | |
Imaginäre Einheit | |
Kettenregel | |
Die Eulersche Formel (engl. Euler's Formula, nach Leonard Euler) zeigt einen Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometischen Funktionen:
Herleitung
Die Beziehung lässt sich durch die Taylor-Approximation der trigonometrischen Funktionen finden. Diese sind:
Folglich kann man die komplexe Funktion schreiben:
Schließlich wird man feststellen, dass diese Approximation exakt der komplexen e-Funktion entspricht.